第40章 竞赛集训第一课，再次降维打击
周六上午,京市一中数学竞赛集训教室。
阎正站在讲台上,目光扫过下方十几个学生。
“今天是集训第一课。”
他停顿半晌，语气凉了几度。
“我不管你们是怎么进来的，在这里，只有实力说话。”
显然，某些人把关係户塞进集训队的事儿，让他很不爽。
教室里安静下来。
陆安安坐在第二排,手指轻轻摩挲著笔桿。
【终於进来了。】
【接下来,就等陆昭昭出丑。】
她侧头看向最后一排。
陆昭昭坐在角落,面前摊开一本《数论导引》,目光平静地扫过书页。
阎正转身在黑板上写下一道题:
“设p为大於3的质数,证明:p2-1能被24整除。”
教室里响起笔尖划过纸张的声音。
陆安安盯著题目,脑海中快速搜索记忆。
【这道题我见过。】
【上一世省赛真题,用费马小定理和同余性质。】
她深吸一口气,开始在草稿纸上推导。
十分钟后。
阎正放下粉笔。
“谁做出来了?”
陆安安举起手。
阎正眉毛微挑。
“陆安安,你上来讲。”
陆安安站起身，走到讲台前，拿起粉笔。
“因为p是大於3的质数，所以p不能被2和3整除。”
她在黑板上写下第一行。
“p是奇数，考察p模8的情况：p≡1,3,5,7(mod 8)。”
她继续推导。
“计算可得p2≡1(mod 8)。同理p2≡1(mod 3)。”
“由於gcd(8,3)=1，根据中国剩余定理，p2≡1(mod 24)。”
“因此p2-1能被24整除。”
阎正点点头。
“思路正確，但表述可以更严谨。”
陆安安脸上浮现出笑容,转身走回座位。
【陆昭昭还在看书。】
【她肯定做不出来。】
阎正看向最后一排。
“昭昭,你做出来了吗?”
陆昭昭合上书,抬起头。
“做出来了。”
阎正点点头。
“你也上来讲讲。”
陆昭昭站起身,走到讲台前。
"我想到了三种思路。"
教室里安静下来。
陆安安手指一紧。
【三种？】
陆昭昭拿起粉笔,在黑板上写下第一行。
“第一种,因式分解。p2-1=(p-1)(p+1)。”
她的笔尖快速移动。
“p是大於3的质数,则p-1和p+1是两个连续偶数,其中必有一个被4整除,另一个被2整除,所以(p-1)(p+1)能被8整除。”
她顿了顿。
“又因为p不能被3整除,所以p≡1或2(mod 3),则p-1或p+1能被3整除。”
“综上,p2-1能被24整除。”
阎正点点头。“继续。”
陆昭昭擦掉第一种方法,写下第二行。
“第二种,同余类討论。p＞3,则p≡1或5(mod 6)。”
她的推导速度更快了。
“当p≡1(mod 6)时,p2≡1(mod 24)。”
“当p≡5(mod 6)时,p2≡25≡1(mod 24)。”
“所以p2-1≡0(mod 24)。”
教室里响起倒吸冷气的声音。
陆安安的手指攥的生疼。
【她怎么可能想的这么快?】
阎正看向陆昭昭。
“第三种呢?”
陆昭昭放下粉笔,拿起另一支不同顏色的粉笔。
“第三种,直接验证。”
她转身面对黑板。
“质数p＞3,则p=6k±1的形式。”
“当p=6k+1时,p2-1=(6k+1)2-1=36k2+12k=12k(3k+1)。”
“3k与3k+1中必有一个为偶数,所以12k(3k+1)能被24整除。”
“当p=6k-1时,同理可证。”
教室里鸦雀无声。
陆昭昭转身走回座位。
陆安安的脸色惨白。
【不可能。】
【她怎么能想到这么多方法?】
阎正看著黑板上三种解法,眼中闪过讚赏。
“三种方法各有特点。第一种直观,第二种系统,第三种严密。”
他转身在黑板上写下第二道题。
“下一题:证明存在无穷多个形如4k+1的质数。”
教室里安静下来。
陆安安盯著题目,脑海中一片空白。
【这道题……】
【我没见过。】
她侧头看向陆昭昭。
陆昭昭已经在草稿纸上写下第一行。
十五分钟后。
阎正放下粉笔。
“这道题有一定难度,你们能做到哪一步,就做到哪一步。”
教室里只有沙沙的写字声。
又过了十分钟。
阎正看向全班。
“谁有思路?”
阎正直接看向最后一排。
“陆昭昭?”
陆昭昭放下笔。
“我写了一个证明,但用到了一个结论,不確定是否超出竞赛范围。”
阎正点点头。
“你先讲讲思路。”
陆昭昭走到讲台前,拿起粉笔。
“我用反证法。假设形如4k+1的质数只有有限个,设为p?,p?,…,p?。”
她的字跡工整。
“构造数n=(2p?p?…p?)2+1”
“注意到n≡1(mod 4),所以n是4k+1型的。”
她继续写道:
“n＞1,必有质因子。设q是n的任一质因子。”
“如果q=2,则2|(2p?p?…p?)2+1,但(2p?p?…p?)2是偶数,加1是奇数,矛盾。”
“所以q是奇质数。”
“如果q是4k+3型的,那么n的所有质因子都是4k+3型,则n也是4k+3型,与n≡1(mod 4)矛盾。”
“所以q必是4k+1型的质数。”
她停顿了一下。
“但q不在{p?,p?,…,p?}中,因为n除以任何p?都余1。”
“这与假设矛盾。所以形如4k+1的质数有无穷多个。”
陆昭昭放下粉笔。
“但这个证明用到了4k+3型质数的乘积还是4k+3型这个性质,需要单独证明。”
阎正点点头。
“这个证明思路是对的。你提到的那个性质確实需要证明,不过很简单:(4a+3)(4b+3)=16ab+12a+12b+9=4(4ab+3a+3b+2)+1,所以两个4k+3型数的乘积是4k+1型。这说明如果n的所有质因子都是4k+3型,n就不可能是4k+1型。”
他转身面向全班。
“陆昭昭的证明用到了数论中的构造法和反证法,思路很清晰。这类证明在竞赛中经常出现,大家要好好体会。”
阎正看了一眼时间。
“今天的课就到这里。”
他扫视全班。
“回去后好好复习今天讲的內容,特別是同余的性质和因式分解的技巧。下周会有测试。”
学生们陆续收拾东西离开。
陆安安走到门口,回头看了一眼。
陆昭昭正在整理书包,表情平静。
【该死……】
【她不仅会做,还能讲得这么清楚。】
陆安安咬了咬嘴唇,快步走出教室。
走廊里,几个竞赛组的男生聚在一起。
“陆昭昭也太厉害了吧,一道题能想出三种方法。”
“是啊,而且每种方法都讲得特別清楚,我全听懂了。”
“不过她平时看起来挺冷淡的,不太好接近。”
陆安安路过时,听到这些话,脸色更加难看。
她加快脚步,走向教学楼。
拐角处,沈逸正倚在墙边等她。
“安安。”
他走上前。
“怎么样?第一天集训还习惯吗?”
陆安安勉强笑了笑。“还好。”
沈逸看出她情绪不对。
“怎么了?是不是有人欺负你?”
陆安安摇摇头。“没有,只是……”
她顿了顿。
“姐姐她在竞赛组表现得很好,大家都很佩服她。”
沈逸皱眉。
“陆昭昭?她能有多好?”
陆安安低下头。
“她用了三种方法解同一道题,每种方法都很完整,讲得也很清楚。阎老师一直在夸她。”
沈逸愣住。
“什么?”
陆安安抬起头,眼中带著委屈。
“沈逸哥哥,我觉得自己好没用。”
“我明明那么努力,可还是比不上她。”
她停顿了一下,脸色为难的说：
“对了,我昨天晚上回家的时候,看到姐姐在房间里看数学竞赛试题。”
沈逸眼神一动。
“什么试题?”
陆安安好像在回忆著。
“好像就是今天阎老师讲的那些题目。我看到她草稿纸上写的数字和今天黑板上的很像。”
沈逸的表情变得微妙。
“你確定?”
陆安安点点头。
“应该没错。我看到她在写关於质数的证明,今天阎老师就讲了那道4k+1质数的题。”
沈逸眼中闪过一丝深意。
“看来陆昭昭只是运气好,提前看过题而已。”
“等真正比赛的时候,她肯定会露馅。”
陆安安咬著嘴唇。“可是万一……”
“没有万一。”
沈逸打断她。
“我相信你，你才是最棒的！”
陆安安看著他,眼眶微红。“谢谢你,沈逸哥哥。”
沈逸揉了揉她的头。
“走吧,我陪你去吃饭。”
两人並肩走向食堂。
阎正站在讲台上,目光扫过下方十几个学生。
“今天是集训第一课。”
他停顿半晌，语气凉了几度。
“我不管你们是怎么进来的，在这里，只有实力说话。”
显然，某些人把关係户塞进集训队的事儿，让他很不爽。
教室里安静下来。
陆安安坐在第二排,手指轻轻摩挲著笔桿。
【终於进来了。】
【接下来,就等陆昭昭出丑。】
她侧头看向最后一排。
陆昭昭坐在角落,面前摊开一本《数论导引》,目光平静地扫过书页。
阎正转身在黑板上写下一道题:
“设p为大於3的质数,证明:p2-1能被24整除。”
教室里响起笔尖划过纸张的声音。
陆安安盯著题目,脑海中快速搜索记忆。
【这道题我见过。】
【上一世省赛真题,用费马小定理和同余性质。】
她深吸一口气,开始在草稿纸上推导。
十分钟后。
阎正放下粉笔。
“谁做出来了?”
陆安安举起手。
阎正眉毛微挑。
“陆安安,你上来讲。”
陆安安站起身，走到讲台前，拿起粉笔。
“因为p是大於3的质数，所以p不能被2和3整除。”
她在黑板上写下第一行。
“p是奇数，考察p模8的情况：p≡1,3,5,7(mod 8)。”
她继续推导。
“计算可得p2≡1(mod 8)。同理p2≡1(mod 3)。”
“由於gcd(8,3)=1，根据中国剩余定理，p2≡1(mod 24)。”
“因此p2-1能被24整除。”
阎正点点头。
“思路正確，但表述可以更严谨。”
陆安安脸上浮现出笑容,转身走回座位。
【陆昭昭还在看书。】
【她肯定做不出来。】
阎正看向最后一排。
“昭昭,你做出来了吗?”
陆昭昭合上书,抬起头。
“做出来了。”
阎正点点头。
“你也上来讲讲。”
陆昭昭站起身,走到讲台前。
"我想到了三种思路。"
教室里安静下来。
陆安安手指一紧。
【三种？】
陆昭昭拿起粉笔,在黑板上写下第一行。
“第一种,因式分解。p2-1=(p-1)(p+1)。”
她的笔尖快速移动。
“p是大於3的质数,则p-1和p+1是两个连续偶数,其中必有一个被4整除,另一个被2整除,所以(p-1)(p+1)能被8整除。”
她顿了顿。
“又因为p不能被3整除,所以p≡1或2(mod 3),则p-1或p+1能被3整除。”
“综上,p2-1能被24整除。”
阎正点点头。“继续。”
陆昭昭擦掉第一种方法,写下第二行。
“第二种,同余类討论。p＞3,则p≡1或5(mod 6)。”
她的推导速度更快了。
“当p≡1(mod 6)时,p2≡1(mod 24)。”
“当p≡5(mod 6)时,p2≡25≡1(mod 24)。”
“所以p2-1≡0(mod 24)。”
教室里响起倒吸冷气的声音。
陆安安的手指攥的生疼。
【她怎么可能想的这么快?】
阎正看向陆昭昭。
“第三种呢?”
陆昭昭放下粉笔,拿起另一支不同顏色的粉笔。
“第三种,直接验证。”
她转身面对黑板。
“质数p＞3,则p=6k±1的形式。”
“当p=6k+1时,p2-1=(6k+1)2-1=36k2+12k=12k(3k+1)。”
“3k与3k+1中必有一个为偶数,所以12k(3k+1)能被24整除。”
“当p=6k-1时,同理可证。”
教室里鸦雀无声。
陆昭昭转身走回座位。
陆安安的脸色惨白。
【不可能。】
【她怎么能想到这么多方法?】
阎正看著黑板上三种解法,眼中闪过讚赏。
“三种方法各有特点。第一种直观,第二种系统,第三种严密。”
他转身在黑板上写下第二道题。
“下一题:证明存在无穷多个形如4k+1的质数。”
教室里安静下来。
陆安安盯著题目,脑海中一片空白。
【这道题……】
【我没见过。】
她侧头看向陆昭昭。
陆昭昭已经在草稿纸上写下第一行。
十五分钟后。
阎正放下粉笔。
“这道题有一定难度,你们能做到哪一步,就做到哪一步。”
教室里只有沙沙的写字声。
又过了十分钟。
阎正看向全班。
“谁有思路?”
阎正直接看向最后一排。
“陆昭昭?”
陆昭昭放下笔。
“我写了一个证明,但用到了一个结论,不確定是否超出竞赛范围。”
阎正点点头。
“你先讲讲思路。”
陆昭昭走到讲台前,拿起粉笔。
“我用反证法。假设形如4k+1的质数只有有限个,设为p?,p?,…,p?。”
她的字跡工整。
“构造数n=(2p?p?…p?)2+1”
“注意到n≡1(mod 4),所以n是4k+1型的。”
她继续写道:
“n＞1,必有质因子。设q是n的任一质因子。”
“如果q=2,则2|(2p?p?…p?)2+1,但(2p?p?…p?)2是偶数,加1是奇数,矛盾。”
“所以q是奇质数。”
“如果q是4k+3型的,那么n的所有质因子都是4k+3型,则n也是4k+3型,与n≡1(mod 4)矛盾。”
“所以q必是4k+1型的质数。”
她停顿了一下。
“但q不在{p?,p?,…,p?}中,因为n除以任何p?都余1。”
“这与假设矛盾。所以形如4k+1的质数有无穷多个。”
陆昭昭放下粉笔。
“但这个证明用到了4k+3型质数的乘积还是4k+3型这个性质,需要单独证明。”
阎正点点头。
“这个证明思路是对的。你提到的那个性质確实需要证明,不过很简单:(4a+3)(4b+3)=16ab+12a+12b+9=4(4ab+3a+3b+2)+1,所以两个4k+3型数的乘积是4k+1型。这说明如果n的所有质因子都是4k+3型,n就不可能是4k+1型。”
他转身面向全班。
“陆昭昭的证明用到了数论中的构造法和反证法,思路很清晰。这类证明在竞赛中经常出现,大家要好好体会。”
阎正看了一眼时间。
“今天的课就到这里。”
他扫视全班。
“回去后好好复习今天讲的內容,特別是同余的性质和因式分解的技巧。下周会有测试。”
学生们陆续收拾东西离开。
陆安安走到门口,回头看了一眼。
陆昭昭正在整理书包,表情平静。
【该死……】
【她不仅会做,还能讲得这么清楚。】
陆安安咬了咬嘴唇,快步走出教室。
走廊里,几个竞赛组的男生聚在一起。
“陆昭昭也太厉害了吧,一道题能想出三种方法。”
“是啊,而且每种方法都讲得特別清楚,我全听懂了。”
“不过她平时看起来挺冷淡的,不太好接近。”
陆安安路过时,听到这些话,脸色更加难看。
她加快脚步,走向教学楼。
拐角处,沈逸正倚在墙边等她。
“安安。”
他走上前。
“怎么样?第一天集训还习惯吗?”
陆安安勉强笑了笑。“还好。”
沈逸看出她情绪不对。
“怎么了?是不是有人欺负你?”
陆安安摇摇头。“没有,只是……”
她顿了顿。
“姐姐她在竞赛组表现得很好,大家都很佩服她。”
沈逸皱眉。
“陆昭昭?她能有多好?”
陆安安低下头。
“她用了三种方法解同一道题,每种方法都很完整,讲得也很清楚。阎老师一直在夸她。”
沈逸愣住。
“什么?”
陆安安抬起头,眼中带著委屈。
“沈逸哥哥,我觉得自己好没用。”
“我明明那么努力,可还是比不上她。”
她停顿了一下,脸色为难的说：
“对了,我昨天晚上回家的时候,看到姐姐在房间里看数学竞赛试题。”
沈逸眼神一动。
“什么试题?”
陆安安好像在回忆著。
“好像就是今天阎老师讲的那些题目。我看到她草稿纸上写的数字和今天黑板上的很像。”
沈逸的表情变得微妙。
“你確定?”
陆安安点点头。
“应该没错。我看到她在写关於质数的证明,今天阎老师就讲了那道4k+1质数的题。”
沈逸眼中闪过一丝深意。
“看来陆昭昭只是运气好,提前看过题而已。”
“等真正比赛的时候,她肯定会露馅。”
陆安安咬著嘴唇。“可是万一……”
“没有万一。”
沈逸打断她。
“我相信你，你才是最棒的！”
陆安安看著他,眼眶微红。“谢谢你,沈逸哥哥。”
沈逸揉了揉她的头。
“走吧,我陪你去吃饭。”
两人並肩走向食堂。